高一數學復習

高一
2024-04-22

高一數學復習？那么，高一數學復習？一起來了解一下吧。

高中必修一數學主要是集合與函數，把集合的子交并補運算，函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、反函數、指數、對數函數圖像與性質，好好掌握，多做練習就行啦。

一、集合與簡易邏輯1．集合的元素具有確定性、無序性和互異性．2．對集合，時，必須注意到“極端”情況：或；求集合的子集時是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集．3．對于含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為 4．“交的補等于補的并，即 ”；“并的補等于補的交，即 ”．5．判斷命題的真假關鍵是“抓住關聯字詞”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”．6．“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”．7．四種命題中“‘逆’者‘交換’也”、“‘否’者‘否定’也”．原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價．反證法分為三步：假設、推矛、得果．注意：命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結論’所得命題”，但否命題是“既否定原命題的條件作為條件，又否定原命題的結論作為結論的所得命題” ．8．充要條件二、函數1．指數式、對數式2．（1）映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一個集合中的元素必有像，但第二個集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且僅有下一個，但中元素的原像可能沒有，也可任意個）；函數是“非空數集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”．（2）函數圖像與軸垂線至多一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可任意個．（3）函數圖像一定是坐標系中的曲線，但坐標系中的曲線不一定能成為函數圖像．3．單調性和奇偶性（1）奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同．偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反．注意：（1）確定函數的奇偶性，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱．確定函數奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等．對于偶函數而言有：．（2）若奇函數定義域中有0，則必有．即的定義域時，是為奇函數的必要非充分條件．（3）確定函數的單調性或單調區間，在解答題中常用：定義法（取值、作差、鑒定）、導數法；在選擇、填空題中還有：數形結合法（圖像法）、特殊值法等等．（4）既奇又偶函數有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）．（7）復合函數的單調性特點是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”．復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”．復合函數要考慮定義域的變化。（即復合有意義）4．對稱性與周期性（以下結論要消化吸收，不可強記）（1）函數與函數的圖像關于直線（軸）對稱．推廣一：如果函數對于一切，都有成立，那么的圖像關于直線（由“ 和的一半確定”）對稱．推廣二：函數，的圖像關于直線（由確定）對稱．（2）函數與函數的圖像關于直線（軸）對稱．（3）函數與函數的圖像關于坐標原點中心對稱．推廣：曲線關于直線的對稱曲線是；曲線關于直線的對稱曲線是．（5）類比“三角函數圖像”得：若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數，且一周期為．如果是R上的周期函數，且一個周期為，那么．特別：若恒成立，則．若恒成立，則．若恒成立，則．三、數列1．數列的通項、數列項的項數，遞推公式與遞推數列，數列的通項與數列的前項和公式的關系：（必要時請分類討論）．注意： 2．等差數列中：（1）等差數列公差的取值與等差數列的單調性．（2）兩等差數列對應項和（差）組成的新數列仍成等差數列．（3）仍成等差數列．（4“首正”的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和；（5）有限等差數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還是奇數決定．若總項數為偶數，則“偶數項和”－“奇數項和”＝總項數的一半與其公差的積；若總項數為奇數，則“奇數項和”－“偶數項和”＝此數列的中項．（6）兩數的等差中項惟一存在．在遇到三數或四數成等差數列時，常考慮選用“中項關系”轉化求解．（7）判定數列是否是等差數列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像法（也就是說數列是等差數列的充要條件主要有這五種形式）．3．等比數列中：（1）等比數列的符號特征（全正或全負或一正一負），等比數列的首項、公比與等比數列的單調性．（2）成等比數列；成等比數列成等比數列．（3）兩等比數列對應項積（商）組成的新數列仍成等比數列．（4）成等比數列．（5）“首大于1”的正值遞減等比數列中，前項積的最大值是所有大于或等于1的項的積；“首小于1”的正值遞增等比數列中，前項積的最小值是所有小于或等于1的項的積；（6）有限等比數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還是奇數決定．若總項數為偶數，則“偶數項和”＝“奇數項和”與“公比”的積；若總項數為奇數，則“奇數項和”＝“首項”加上“公比”與“偶數項和”積的和．（7）并非任何兩數總有等比中項．僅當實數同號時，實數存在等比中項．對同號兩實數的等比中項不僅存在，而且有一對．也就是說，兩實數要么沒有等比中項（非同號時），如果有，必有一對（同號時）．在遇到三數或四數成等差數列時，常優先考慮選用“中項關系”轉化求解．（8）判定數列是否是等比數列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法（也就是說數列是等比數列的充要條件主要有這四種形式）．4．等差數列與等比數列的聯系（1）如果數列成等差數列，那么數列（總有意義）必成等比數列．（2）如果數列成等比數列，那么數列必成等差數列．（3）如果數列既成等差數列又成等比數列，那么數列是非零常數數列；但數列是常數數列僅是數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件．（4）如果兩等差數列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數．如果一個等差數列與一個等比數列有公共項順次組成新數列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進行研討，且以其等比數列的項為主，探求等比數列中那些項是他們的公共項，并構成新的數列．注意：（1）公共項僅是公共的項，其項數不一定相同，即研究．但也有少數問題中研究，這時既要求項相同，也要求項數相同．（2）三（四）個數成等差（比）的中項轉化和通項轉化法．5．數列求和的常用方法：（1）公式法：①等差數列求和公式（三種形式），②等比數列求和公式（三種形式），③ ，，，．（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和．（3）倒序相加法：在數列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前和公式的推導方法）．（4）錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法，將其和轉化為“一個新的的等比數列的和”求解（注意：一般錯位相減后，其中“新等比數列的項數是原數列的項數減一的差”！）（這也是等比數列前和公式的推導方法之一）．（5）裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和．常用裂項形式有：① ，② ，特別聲明：?運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時分類討論．（6）通項轉換法。四、三角函數1．終邊與終邊相同（的終邊在終邊所在射線上）．終邊與終邊共線（的終邊在終邊所在直線上）．終邊與終邊關于軸對稱．終邊與終邊關于軸對稱．終邊與終邊關于原點對稱．一般地：終邊與終邊關于角的終邊對稱．與的終邊關系由“兩等分各象限、一二三四”確定．2．弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度（1rad）．3．三角函數符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正．注意：，，．4．三角函數線的特征是：正弦線“站在軸上（起點在軸上）”、余弦線“躺在軸上（起點是原點）”、正切線“站在點處（起點是）”．務必重視“三角函數值的大小與單位圓上相應點的坐標之間的關系，‘正弦’ ‘縱坐標’、‘余弦’ ‘橫坐標’、‘正切’ ‘縱坐標除以橫坐標之商’”；務必記住：單位圓中角終邊的變化與值的大小變化的關系．為銳角．5．三角函數同角關系中，平方關系的運用中，務必重視“根據已知角的范圍和三角函數的取值，精確確定角的范圍，并進行定號”；6．三角函數誘導公式的本質是：奇變偶不變，符號看象限．7．三角函數變換主要是：角、函數名、次數、系數（常值）的變換，其核心是“角的變換”! 角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換．如，，，，等．常值變換主要指“1”的變換：等．三角式變換主要有：三角函數名互化（切割化弦）、三角函數次數的降升（降次、升次）、運算結構的轉化（和式與積式的互化）．解題時本著“三看”的基本原則來進行:“看角、看函數、看特征”,基本的技巧有:巧變角,公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次．注意：和（差）角的函數結構與符號特征；余弦倍角公式的三種形式選用；降次（升次）公式中的符號特征．“正余弦‘三兄妹— ’的聯系”（常和三角換元法聯系在一起）．輔助角公式中輔助角的確定：（其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定）在求最值、化簡時起著重要作用．尤其是兩者系數絕對值之比為的情形．有實數解．8．三角函數性質、圖像及其變換：（1）三角函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、有界性和周期性注意：正切函數、余切函數的定義域；絕對值對三角函數周期性的影響：一般說來，某一周期函數解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數又是偶函數的函數自變量加絕對值，其周期性不變；其他不定．如的周期都是 , 但的周期為， y=|tanx|的周期不變，問函數y=cos|x|, ，y=cos|x|是周期函數嗎？（2）三角函數圖像及其幾何性質：（3）三角函數圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換．（4）三角函數圖像的作法：三角函數線法、五點法（五點橫坐標成等差數列）和變換法．9．三角形中的三角函數：（1）內角和定理：三角形三角和為，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余．銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方．（2）正弦定理：（R為三角形外接圓的半徑）．注意：已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解．（3）余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的類型．（4）面積公式：．五、向量1．向量運算的幾何形式和坐標形式，請注意：向量運算中向量起點、終點及其坐標的特征．2．幾個概念：零向量、單位向量（與共線的單位向量是，特別：）、平行（共線）向量（無傳遞性，是因為有）、相等向量（有傳遞性）、相反向量、向量垂直、以及一個向量在另一向量方向上的投影（在上的投影是）．3．兩非零向量平行（共線）的充要條件．兩個非零向量垂直的充要條件．特別：零向量和任何向量共線．是向量平行的充分不必要條件!4．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數、，使a= e1＋ e2．5．三點共線共線；向量中三終點共線存在實數使得：且．6．向量的數量積：，，，．注意：為銳角且不同向；為直角且；為鈍角且不反向；是為鈍角的必要非充分條件．向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，這是題目中的天然條件，要注意運用；對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量；向量的“乘法”不滿足結合律，即，切記兩向量不能相除（相約）．7．注意：同向或有；反向或有；不共線．（這些和實數集中類似）8.中點坐標公式，為的中點．中，過邊中點；；．為的重心；特別為的重心．為的垂心；所在直線過的內心（是的角平分線所在直線）；的內心．．六、不等式1．（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值．（2）解分式不等式的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母分解因式，x的系數變為正值，標根及奇穿過偶彈回）；（3）含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？（一般是根據定義分類討論、平方轉化或換元轉化）；（4）解含參不等式常分類等價轉化，必要時需分類討論．注意：按參數討論，最后按參數取值分別說明其解集，但若按未知數討論，最后應求并集．2．利用重要不等式以及變式等求函數的最值時，務必注意a，b （或a ，b非負），且“等號成立”時的條件是積ab或和a＋b其中之一應是定值（一正二定三等四同時）．3．常用不等式有：（根據目標不等式左右的運算結構選用）a、b、c R，（當且僅當時，取等號）4．比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數性質法、綜合法、分析法5．含絕對值不等式的性質：同號或有；異號或有．注意：不等式恒成立問題的常規處理方式？（常應用方程函數思想和“分離變量法”轉化為最值問題）．6．不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題（1）．恒成立問題若不等式在區間上恒成立,則等價于在區間上若不等式在區間上恒成立,則等價于在區間上（2）．能成立問題若在區間上存在實數使不等式成立,即在區間上能成立, ,則等價于在區間上若在區間上存在實數使不等式成立,即在區間上能成立, ,則等價于在區間上的．（3）．恰成立問題若不等式在區間上恰成立, 則等價于不等式的解集為．若不等式在區間上恰成立, 則等價于不等式的解集為 ,七、直線和圓1．直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍；直線方向向量的意義（或）及其直線方程的向量式（（為直線的方向向量））．應用直線方程的點斜式、斜截式設直線方程時，一般可設直線的斜率為k，但你是否注意到直線垂直于x軸時，即斜率k不存在的情況？2．知直線縱截距，常設其方程為或；知直線橫截距，常設其方程為（直線斜率k存在時，為k的倒數）或．知直線過點，常設其方程為或．注意：（1）直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一般式、向量式．以及各種形式的局限性．（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截矩式呢？）與直線平行的直線可表示為；與直線垂直的直線可表示為；過點與直線平行的直線可表示為：；過點與直線垂直的直線可表示為：．（2）直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0．直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點．（3）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合．3．相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個不同的概念：夾角特指相交兩直線所成的較小角，范圍是，而其到角是帶有方向的角，范圍是．注：點到直線的距離公式．特別：；；．4．線性規劃中幾個概念：約束條件、可行解、可行域、目標函數、最優解．5．圓的方程：最簡方程；標準方程；一般式方程；參數方程為參數）；直徑式方程．注意：（1）在圓的一般式方程中，圓心坐標和半徑分別是．（2）圓的參數方程為“三角換元”提供了樣板，常用三角換元有：，，，．6．解決直線與圓的關系問題有“函數方程思想”和“數形結合思想”兩種思路，等價轉化求解，重要的是發揮“圓的平面幾何性質（如半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等）的作用!”（1）過圓上一點圓的切線方程是：，過圓上一點圓的切線方程是：，過圓上一點圓的切線方程是：．如果點在圓外，那么上述直線方程表示過點兩切線上兩切點的“切點弦”方程．如果點在圓內，那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于（為圓心）的直線方程，（為圓心到直線的距離）．7．曲線與的交點坐標方程組的解；過兩圓、交點的圓（公共弦）系為，當且僅當無平方項時，為兩圓公共弦所在直線方程．八、圓錐曲線1．圓錐曲線的兩個定義，及其“括號”內的限制條件，在圓錐曲線問題中，如果涉及到其兩焦點（兩相異定點），那么將優先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其焦點、準線（一定點和不過該點的一定直線）或離心率，那么將優先選用圓錐曲線第二定義；涉及到焦點三角形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質的應用．（1）注意：①圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運用；②圓錐曲線第二定義是：“點點距為分子、點線距為分母”，橢圓點點距除以點線距商是小于1的正數，雙曲線點點距除以點線距商是大于1的正數，拋物線點點距除以點線距商是等于1．③圓錐曲線的焦半徑公式如下圖： 2．圓錐曲線的幾何性質：圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點線、圓錐曲線的變化趨勢．其中，橢圓中、雙曲線中．重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其‘頂點、焦點、準線等相互之間與坐標系無關的幾何性質’”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點弦最值的特點．注意：等軸雙曲線的意義和性質．3．在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，有“函數方程思想”和“數形結合思想”兩種思路，等價轉化求解．特別是：①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構成的方程組有實數解，當出現一元二次方程時，務必“判別式≥0”，尤其是在應用韋達定理解決問題時，必須先有“判別式≥0”．②直線與拋物線（相交不一定交于兩點）、雙曲線位置關系（相交的四種情況）的特殊性，應謹慎處理．③在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，常與“弦”相關，“平行弦”問題的關鍵是“斜率”、“中點弦”問題關鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度（弦長）”問題關鍵是長度（弦長）公式（， , ）或“小小直角三角形”．④如果在一條直線上出現“三個或三個以上的點”，那么可選擇應用“斜率”為橋梁轉化．4．要重視常見的尋求曲線方程的方法（待定系數法、定義法、直譯法、代點法、參數法、交軌法、向量法等）, 以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質（定義法、幾何法、代數法、方程函數思想、數形結合思想、分類討論思想和等價轉化思想等），這是解析幾何的兩類基本問題，也是解析幾何的基本出發點．注意：①如果問題中涉及到平面向量知識，那么應從已知向量的特點出發，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化，還是選擇向量的代數形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化．②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響．③在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數形結合（如角平分線的雙重身份）、“方程與函數性質”化解析幾何問題為代數問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等．九、直線、平面、簡單多面體1．計算異面直線所成角的關鍵是平移（補形）轉化為兩直線的夾角計算2．計算直線與平面所成的角關鍵是作面的垂線找射影，或向量法（直線上向量與平面法向量夾角的余角），三余弦公式（最小角定理，），或先運用等積法求點到直線的距離，后虛擬直角三角形求解．注：一斜線與平面上以斜足為頂點的角的兩邊所成角相等斜線在平面上射影為角的平分線．3．空間平行垂直關系的證明，主要依據相關定義、公理、定理和空間向量進行，請重視線面平行關系、線面垂直關系（三垂線定理及其逆定理）的橋梁作用．注意：書寫證明過程需規范．特別聲明：①證明計算過程中，若有“中點”等特殊點線，則常借助于“中位線、重心”等知識轉化．②在證明計算過程中常將運用轉化思想，將具體問題轉化（構造）為特殊幾何體（如三棱錐、正方體、長方體、三棱柱、四棱柱等）中問題，并獲得去解決．③如果根據已知條件，在幾何體中有“三條直線兩兩垂直”，那么往往以此為基礎，建立空間直角坐標系，并運用空間向量解決問題．4．直棱柱、正棱柱、平行六面體、長方體、正方體、正四面體、棱錐、正棱錐關于側棱、側面、對角面、平行于底的截面的幾何體性質．如長方體中：對角線長，棱長總和為，全（表）面積為，（結合可得關于他們的等量關系，結合基本不等式還可建立關于他們的不等關系式），；如三棱錐中：側棱長相等（側棱與底面所成角相等）頂點在底上射影為底面外心，側棱兩兩垂直（兩對對棱垂直）頂點在底上射影為底面垂心，斜高長相等（側面與底面所成相等）且頂點在底上在底面內頂點在底上射影為底面內心．如正四面體和正方體中： 5．求幾何體體積的常規方法是：公式法、割補法、等積（轉換）法、比例（性質轉換）法等．注意：補形：三棱錐三棱柱平行六面體分割：三棱柱中三棱錐、四三棱錐、三棱柱的體積關系是．6．多面體是由若干個多邊形圍成的幾何體．棱柱和棱錐是特殊的多面體．正多面體的每個面都是相同邊數的正多邊形，以每個頂點為其一端都有相同數目的棱，這樣的多面體只有五種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體． 9．球體積公式，球表面積公式，是兩個關于球的幾何度量公式．它們都是球半徑及的函數．十、導數1．導數的意義：曲線在該點處的切線的斜率（幾何意義）、瞬時速度、邊際成本（成本為因變量、產量為自變量的函數的導數）．，（C為常數），，．2．多項式函數的導數與函數的單調性：在一個區間上（個別點取等號）在此區間上為增函數．在一個區間上（個別點取等號）在此區間上為減函數．3．導數與極值、導數與最值：（1）函數在處有且“左正右負” 在處取極大值；函數在處有且“左負右正” 在處取極小值．注意：①在處有是函數在處取極值的必要非充分條件．②求函數極值的方法：先找定義域，再求導，找出定義域的分界點，列表求出極值．特別是給出函數極大（小）值的條件，一定要既考慮，又要考慮驗“左正右負”（“左負右正”）的轉化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記．③單調性與最值（極值）的研究要注意列表！（2）函數在一閉區間上的最大值是此函數在此區間上的極大值與其端點值中的“最大值”；函數在一閉區間上的最小值是此函數在此區間上的極小值與其端點值中的“最小值”；注意：利用導數求最值的步驟：先找定義域再求出導數為0及導數不存在的的點，然后比較定義域的端點值和導數為0的點對應函數值的大小，其中最大的就是最大值，最小就為最小值．4．應用導數求曲線的切線方程，要以“切點坐標”為橋梁，注意題目中是“處?”還是“過?”，對“二次拋物線”過拋物線上一點的切線拋物線上該點處的切線，但對“三次曲線”過其上一點的切線包含兩條，其中一條是該點處的切線，另一條是與曲線相交于該點．5．注意應用函數的導數，考察函數單調性、最值（極值），研究函數的性態，數形結合解決方程不等式等相關問題．

高考
知識匯總
第一部分集合
（1）含n個元素的集合的
數為2^n,
數為2^n－1；
的數為2^n-2；
（2）注意：討論的時候不要遺忘了的情況。
（3）
第二部分函數與
1．映射：注意 ①第一個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。
2．函數值域的求法：①
；②
；③
；④利用函數
；
⑤
；⑥利用
； ⑦利用
或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；⑧利用函數
（、、等）；⑨
法
3．
的有關問題
（1）復合
求法：
① 若f(x)的定義域為〔a，b〕,則
f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域。
（2）
的判定：
①首先將
分解為基本函數：內函數與外函數；
②分別研究內、外函數在各自定義域內的
；
③根據“同性則增，異性則減”來判斷
在其定義域內的單調性。
注意：外函數的定義域是內函數的值域。
4．
：值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。
5．函數的
⑴函數的定義域關于
是函數具有
的必要條件；
⑵ 是
；
⑶ 是
；
⑷
在原點有定義，則；
⑸在關于
的
內：
有相同的單調性，
有相反的單調性；
（6）若所給函數的解析式較為復雜，應先等價變形，再判斷其
；
6．函數的單調性
⑴單調性的定義：
① 在區間上是增函數當時有；
② 在區間上是
當時有；
⑵單調性的判定
1 定義法：
注意：一般要將式子化為幾個
作積或作商的形式，以利于判斷符號；
②
法（見導數部分）；
③復合函數法（見2 （2））；
④圖像法。
注：證明單調性主要用定義法和導數法。
7．函數的周期性
(1)周期性的定義：
對定義域內的任意，若有（其中為非零常數），則稱函數為
，為它的一個周期。
所有正周期中最小的稱為函數的
。如沒有特別說明，遇到的周期都指
。
（2）
的周期
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；
⑶函數周期的判定
①定義法（試值） ②圖像法 ③
（利用（2）中結論）
⑷與周期有關的結論
① 或的周期為；
② 的圖象關于點
周期為2 ；
③ 的圖象關于直線
周期為2 ；
④ 的圖象關于點
，直線
周期為4 ；
8．
的圖像與性質
⑴
：（；⑵
：；
⑶
: ；⑷
: ；
⑸
：；（6）
：；⑺
：；
⑻其它常用函數：
1
：；②
：；特別的
2 函數；
9．
：
⑴解析式：
①
：；②
：，為頂點；
③
：。
⑵
問題解決需考慮的因素：
①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與
交點；⑤
；⑥兩根符號。
⑶
問題解決方法：①
；②分類討論。
10．
：
⑴圖象作法：①描點法（特別注意
的五點作圖）②
法③導數法
⑵
：
1 平移變換：ⅰ ，2 ———“正左負右”
ⅱ ———“正上負下”；
3 伸縮變換：
ⅰ ，（ ———縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍；
ⅱ ，（ ———橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的倍；
4
：ⅰ ；ⅱ ；
ⅲ； ⅳ ；
5
：
ⅰ ———右不動，右向左翻（在左側圖象去掉）；
ⅱ ———上不動，下向上翻（| |在下面無圖象）；
11．
（曲線）
的證明
(1)證明函數圖像的
，即證明圖像上任意點關于
（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；
（2）證明函數與圖象的
，即證明圖象上任意點關于
（對稱軸）的對稱點在的圖象上，反之亦然；
注：
①曲線C1:f(x,y)=0關于點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲線C1:f(x,y)=0關于直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2a－x, y)=0;
③曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(或y=－x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);
④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） y=f(x)圖像關于直線x= 對稱；
特別地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） y=f(x)圖像關于直線x=a對稱；
⑤函數y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關于直線x= 對稱；
12．
的求法：
⑴
（求的根）；⑵
；⑶
.
13．導數
⑴導數定義：f(x)在點x0處的導數記作；
⑵常見函數的導數公式: ① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；
⑧ 。
⑶導數的
法則：
⑷（理科）
：
⑸導數的應用：
①利用導數求切線：注意：ⅰ所給點是切點嗎？ⅱ所求的是“在”還是“過”該點的切線？
②利用導數判斷函數單調性：
ⅰ 是增函數；ⅱ 為
；
ⅲ 為常數；
③利用導數求
：ⅰ求導數；ⅱ求方程的根；ⅲ列表得
。
④利用導數最大值與最小值：ⅰ求的
；ⅱ求區間端點值（如果有）；ⅲ得最值。
14．（理科）
⑴
的定義：
⑵
的性質：① （常數）；
② ；
③ （其中。
⑶
（牛頓—
）：
⑷定積分的應用：①求
的面積：；
3 求
的路程：；③求變力做功：。
第三部分
、
與
1．⑴
與
的互化：弧度，弧度，弧度
⑵
：；扇形
：。
2．三角函數定義：角中邊上任意一點為，設則：
3．
規律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；
4．
記憶規律：“函數名不（改）變，符號看象限”；
5．⑴ 對稱軸：；
：；
⑵ 對稱軸：；對稱中心：；
6．同角三角函數的基本關系：；
7．兩角和與差的正弦、余弦、
公式：①
② ③ 。
8．
：① ；
② ；③ 。
9．正、
：
⑴
：（是
直徑）
注：① ；② ；③ 。
⑵
：等三個；注：等三個。
10。幾個公式:
⑴
：；
⑵
半徑r= ；
直徑2R=
11．已知時三角形解的個數的判定：
第四部分
1．
與
：注：原圖形與
面積之比為。
2．表（側）面積與
：
⑴柱體：①表面積：S=S側+2S底；②側面積：S側= ；③體積：V=S底h
⑵
：①表面積：S=S側+S底；②側面積：S側= ；③體積：V= S底h：
⑶臺體：①表面積：S=S側+S上底S下底；②側面積：S側= ；③體積：V= （S+ ）h；
⑷球體：①表面積：S= ；②體積：V= 。
3．位置關系的證明（主要方法）：
⑴直線與直線平行：①
4；②
的性質定理；③
的性質定理。
⑵直線與平面平行：①
的判定定理；②
。
⑶平面與平面平行：①
的判定定理及推論；②垂直于同一直線的兩平面平行。
⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②
的性質定理。
⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成
為直角；②
的判定定理。
注：理科還可用向量法。
4.求角：（步驟-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴
的求法：
1 平移法：平移直線，2 構造三角形；
3 ②
：補成正方體、
、長方體等，4 發現兩條
間的關系。
注：理科還可用向量法，轉化為兩直線
的夾角。
⑵直線與平面所成的角：
①
（利用
定義）；②先求斜線上的
h，與斜線段長度作比，得sin 。
注：理科還可用向量法，轉化為直線的
與平面
的夾角。
⑶
的求法：
①定義法：在
的棱上取一點（特殊點），作出
，再求解；
②三垂線法：由一個半面內一點作（或找）到另一個
的垂線，用
或
作出二面角的
，再求解；
③
法：利用面積
公式： ,其中為
的大小；
注：對于沒有給出棱的二面角，應先作出棱，然后再選用上述方法；
理科還可用向量法，轉化為兩個班平面
的夾角。
5.求距離：（步驟-------Ⅰ。找或作
；Ⅱ。求距離）
⑴兩
間的距離：一般先作出公
，再進行計算；
⑵點到直線的距離：一般用
作出
，再求解；
⑶點到平面的距離：
①垂面法：借助
的性質作垂線段（確定已知面的垂面是關鍵），再求解；
5 等體積法；
理科還可用向量法：。
⑷
：（步驟）
（Ⅰ）求線段AB的長；（Ⅱ）求
∠AOB的弧度數；(Ⅲ)求
AB的長。
6．結論：
⑴從一點O出發的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點A在平面∠BOC上的
在∠BOC的平分線上；
⑵立平斜公式(
公式)：
⑶
的各側面與底面所成的角相等，記為，則S側cos =S底；
⑷長方體的性質
①長方體
與過同一頂點的三條棱所成的角分別為則：cos2 +cos2 +cos2 =1；sin2 +sin2 +sin2 =2 。

高一數學必修1第一章知識點總結
一、集合有關概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性：
(1) 元素的確定性,
(2) 元素的互異性,
(3) 元素的無序性,
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。
? 注意：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集）記作：N
正整數集N*或 N+ 整數集Z有理數集Q實數集R
1）列舉法：{a,b,c……}
2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn圖:
4、集合的分類：
(1) 有限集含有有限個元素的集合
(2) 無限集含有無限個元素的集合
(3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
二、集合間的基本關系
1.“包含”關系—子集
注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2．“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即：① 任何一個集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B同時 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
? 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
三、集合的運算
運算類型交集并集補集
定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A B（讀作‘A交B’），即A B=｛x|x A，且x B｝．
由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：A B（讀作‘A并B’），即A B ={x|x A，或x B})．
設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）
記作，即
CSA=
韋
恩
圖
示
性
質 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A(CuA)=U
A(CuA)= Φ．
例題：
1.下列四組對象，能構成集合的是（）
A某班所有高個子的學生B著名的藝術家 C一切很大的書 D 倒數等于它自身的實數
2.集合{a，b，c }的真子集共有個
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0}，則M與N的關系是.
4.設集合A= ，B= ，若A B，則的取值范圍是
5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有31人，
兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。
6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
二、函數的有關概念
1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域．
注意：
1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。
求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被開方數不小于零；
(3)對數式的真數必須大于零；
(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等于零，
(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.
? 相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關例2)
2．值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 .
(2) 畫法
A、描點法：
B、圖象變換法
常用變換方法有三種
1) 平移變換
2) 伸縮變換
3) 對稱變換
4．區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間
（2）無窮區間
（3）區間的數軸表示．
5．映射
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作f：A→B
6.分段函數
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。
(2)各部分的自變量的取值情況．
(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．
補充：復合函數
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。
二．函數的性質
1.函數的單調性(局部性質)
（1）增函數
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1注意：函數的單調性是函數的局部性質；（2）圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的. (3).函數單調區間與單調性的判定方法 (A) 定義法： ○1 任取x1，x2∈D，且x1 ○2 作差f(x1)－f(x2)； ○3 變形（通常是因式分解和配方）； ○4 定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）； ○5 下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）． (B)圖象法(從圖象上看升降) (C)復合函數的單調性復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減” 注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集. 8．函數的奇偶性（整體性質）（1）偶函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．（2）．奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．利用定義判斷函數奇偶性的步驟： ○1首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱； ○2確定f(－x)與f(x)的關系； ○3作出相應結論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數． (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 . 9、函數的解析表達式（1）.函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域. （2）求函數的解析式的主要方法有： 1) 湊配法 2) 待定系數法 3) 換元法 4) 消參法 10．函數最大（小）值（定義見課本p36頁） ○1 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值 ○2 利用圖象求函數的最大（小）值 ○3 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題： 1.求下列函數的定義域： ⑴ ⑵ 2.設函數的定義域為，則函數的定義域為_ _ 3.若函數的定義域為，則函數的定義域是 4.函數，若，則 = 6.已知函數，求函數，的解析式 7.已知函數滿足，則 = 。 8.設是R上的奇函數，且當時, ,則當時 = 在R上的解析式為 9.求下列函數的單調區間： ⑴ (2) 10.判斷函數的單調性并證明你的結論． 11.設函數判斷它的奇偶性并且求證：．