目錄高數(shù)組合排列公式 高中數(shù)學排列組合計算方法 排列數(shù)的兩個性質(zhì) 高中排列組合Cn和An公式 高中數(shù)學排列組合公式知識點
解：Cnm=Anm/Amm.
式中，排列數(shù)(又叫選排列數(shù)）Anm、全排列數(shù)Ann的表示法：
連乘表示：
Anm=n(n-1)(n-2)...(n-m+1).
階乘表示：
Anm=n!/(n-m)!
.
Ann=n(n-1)(n-2)...3*2*1=n!
例如：A85=8*7*6*5*4.
----連乘法；
A85=8*7*6*5*4*3*2*1/3*2*1=8!/(8-5)!
組合數(shù)Cnm=Anm/Amm=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/m(m-1)(m-2)...*3*2*1
【Amm---全排列數(shù)】
=n!/m!(n-m)!.*2*
例如：C85=8*7*6*5*4/1*2*3*4*5=[8*7*6*5*4*3*2*1/1*2*3]/1*2*3*4*5.
=8*7*6*5*4/1*2*3*4*5
=56.
注意：組合數(shù)公式是由于排列數(shù)的表示方法推導出來的。
擴展資料：
公式P是排列公式，從N個元素取M個進行排列（即排序）。（P是舊用法，現(xiàn)含談在教材上多用A，即Arrangement）
公式
排列及計算公式
從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。衡老橋
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號
p(n,m)表示。
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=
n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1)
符號
1、C-組合數(shù)
A-排列數(shù)（在舊教材為P）N-元素的總個數(shù)
R-參與選擇的元素個數(shù)
!-階乘，如5！=5×4×3×2×1=120C-Combination
組合
P-Permutation排列
(現(xiàn)在教材為A-Arrangement)
2、排列組合常見公式
kCn/咐猛k=nCn-1/k-1(a/b,a在下，b在上)Cn/rCr/m=Cn/mCn-m/r-m
參考資料：——排列數(shù)公式
表示在
n
不同的元素里
取
m
個元素
不限順序
有幾種取法要取m次第一次可以取的元素運譽有
n
種情拍悄此況第二次可以取的元素有
n-1
種情況...第m
次可以取的元素有
n-m+1
種情況根據(jù)乘法原理得取m次的情況有n*（n-1）*（n-2）...*（n-m+1）=
n!/
(n-m)!因為是無序組合所以要除去重復計算襲迅的種類就是
m!種得到的公式就是Cnm
=
n!/
[(n-m)!*
m!]
排列組合的基本理論和公式
排列與元素的順序有關(guān),組合與順序無關(guān)．如231與213是兩個排列,2＋3＋1的和與2＋1＋3的和是一個組合．
(一)兩個基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)
(1)加法原理：做一件事,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn種不同方法．
(2)乘法原理：做一件事,完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn種不同的方法．
這里要注意區(qū)分兩個原理,要做一件事,完成它若是有n類辦法,是分類問題,第一類中的方法都是獨立的,因此用加法原理；做一件事,需要分n個步驟,步與步之間是連續(xù)的,只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步驟,依次相繼完成,這件事才算完成,因此用乘法原理．
這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的,因此也將兩個原理區(qū)分開來．
(二)排列和排列數(shù)
(1)排列：從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
從排列的意義可知,如果兩個排列相同,不僅這兩個排列的元素必須完全相同,而且排列的順序必須完全相同,這就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€排列是否相同的方法．
(2)排列數(shù)公式：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列
當m＝n時,為全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n!
(三)組合和組合數(shù)
(1)組合：從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素并成一組,叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
從組合的定義知,如果兩個組合中的元素完全相同,不管元素的順序如何,都是相同的組合；只有當兩個組合中的元素不完全相同時,才是不同的組合．
(2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個
這里要注意排列和組合段物的區(qū)別和聯(lián)系,從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素,“按照一定的順序排成一列”與“不管怎樣的順序并成一組”這是有本質(zhì)區(qū)別的．
一、排列組合部分是中學數(shù)學中的難點之一,原因在于
(1)從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學模型,需要較強的抽象思維能力；
(2)限制條件有時比較隱晦,需要我們對問題中的關(guān)鍵性詞(特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞)準確理解；
(3)計算手段簡單,與舊知識聯(lián)系少,但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大；
(4)計算方案是否正確,往往不可用直觀方法來檢驗,要求我們搞清概念、原理,并具有較強的分析能力.
二、兩個基本計數(shù)原理及應(yīng)用
(1)加法原理和分類計數(shù)法
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
3．分類的要求
每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法,互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法,都屬于某一類(即分類不漏)
(2)乘法原理和分步計數(shù)法
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù),必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同,則對應(yīng)的完成此事的方法也不銷旅同
[例題分析]排列組合思維方法選講
1．首先明確任務(wù)的意義
例1. 從1、2、3、……、20這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列,這樣的不同等差數(shù)列有________個.
分析：首先要把復雜的生活背景或其它數(shù)學背景轉(zhuǎn)化為一個明確的排列組合問題.
設(shè)a,b,c成等差,∴ 2b=a+c, 可知b由a,c決定,
又∵ 2b是偶數(shù),∴ a,c同奇或同偶,即：從1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進行排列,由此就可確定等差數(shù)列,因而本題為2=180.
例2. 某城市握斗液有4條東西街道和6條南北的街道,街道之間的間距相同,如圖.若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進,則從M到N有多少種不同的走法?
分析：對實際背景的分析可以逐層深入
（一）從M到N必須向上走三步,向右走五步,共走八步.
（二）每一步是向上還是向右,決定了不同的走法.
（三）事實上,當把向上的步驟決定后,剩下的步驟只能向右.
從而,任務(wù)可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走,就可以確定走法數(shù),
∴ 本題答案為：=56.
2．注意加法原理與乘法原理的特點,分析是分類還是分步,是排列還是組合
例3．在一塊并排的10壟田地中,選擇二壟分別種植A,B兩種作物,每種種植一壟,為有利于作物生長,要求A,B兩種作物的間隔不少于6壟,不同的選法共有______種.
分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不容易用一個包含排列數(shù),組合數(shù)的式子表示,因而采取分類的方法.
第一類：A在第一壟,B有3種選擇；
第二類：A在第二壟,B有2種選擇；
第三類：A在第三壟,B有一種選擇,
同理A、B位置互換 ,共12種.
例4．從6雙不同顏色的手套中任取4只,其中恰好有一雙同色的取法有________.
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：顯然本題應(yīng)分步解決.
（一）從6雙中選出一雙同色的手套,有6種方法；
（二）從剩下的十只手套中任選一只,有10種方法.
（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只,有8種方法；
（四）由于選取與順序無關(guān),因而（二）（三）中的選法重復一次,因而共240種.
例5．身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列,在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮,則所有不同的排法種數(shù)為_______.
分析：每一縱列中的兩人只要選定,則他們只有一種站位方法,因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關(guān)系,共有三縱列,從而有=90種.
例6．在11名工人中,有5人只能當鉗工,4人只能當車工,另外2人能當鉗工也能當車工.現(xiàn)從11人中選出4人當鉗工,4人當車工,問共有多少種不同的選法?
分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏,如何做到這一點?分類的標準必須前后統(tǒng)一.
以兩個全能的工人為分類的對象,考慮以他們當中有幾個去當鉗工為分類標準.
第一類：這兩個人都去當鉗工,有種；
第二類：這兩人有一個去當鉗工,有種；
第三類：這兩人都不去當鉗工,有種.
因而共有185種.
例7．現(xiàn)有印著0,l,3,5,7,9的六張卡片,如果允許9可以作6用,那么從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數(shù)?
分析：有同學認為只要把0,l,3,5,7,9的排法數(shù)乘以2即為所求,但實際上抽出的三個數(shù)中有9的話才可能用6替換,因而必須分類.
抽出的三數(shù)含0,含9,有種方法；
抽出的三數(shù)含0不含9,有種方法；
抽出的三數(shù)含9不含0,有種方法；
抽出的三數(shù)不含9也不含0,有種方法.
又因為數(shù)字9可以當6用,因此共有2×(+)++=144種方法.
例8．停車場劃一排12個停車位置,今有8輛車需要停放,要求空車位連在一起,不同的停車方法是________種.
分析：把空車位看成一個元素,和8輛車共九個元素排列,因而共有種停車方法.
3．特殊元素,優(yōu)先處理；特殊位置,優(yōu)先考慮
例9．六人站成一排,求
(1)甲不在排頭,乙不在排尾的排列數(shù)
(2)甲不在排頭,乙不在排尾,且甲乙不相鄰的排法數(shù)
分析：（1）先考慮排頭,排尾,但這兩個要求相互有影響,因而考慮分類.
第一類：乙在排頭,有種站法.
第二類：乙不在排頭,當然他也不能在排尾,有種站法,
共+種站法.
（2）第一類：甲在排尾,乙在排頭,有種方法.
第二類：甲在排尾,乙不在排頭,有種方法.
第三類：乙在排頭,甲不在排頭,有種方法.
第四類：甲不在排尾,乙不在排頭,有種方法.
共+2+=312種.
例10．對某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進行一一測試,至區(qū)分出所有次品為止.若所有次品恰好在第五次測試時被全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法有多少種可能?
分析：本題意指第五次測試的產(chǎn)品一定是次品,并且是最后一個次品,因而第五次測試應(yīng)算是特殊位置了,分步完成.
第一步：第五次測試的有種可能；
第二步：前四次有一件正品有中可能.
第三步：前四次有種可能.
∴ 共有種可能.
4．捆綁與插空
例11. 8人排成一隊
(1)甲乙必須相鄰 (2)甲乙不相鄰
(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4)甲乙必須相鄰,丙丁必須相鄰
(5)甲乙不相鄰,丙丁不相鄰
分析：（1）有種方法.
（2）有種方法.
（3）有種方法.
（4）有種方法.
（5）本題不能用插空法,不能連續(xù)進行插空.
用間接解法：全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰,共--+=23040種方法.
例12. 某人射擊8槍,命中4槍,恰好有三槍連續(xù)命中,有多少種不同的情況?
分析：∵ 連續(xù)命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰,因而這是一個插空問題.另外沒有命中的之間沒有區(qū)別,不必計數(shù).即在四發(fā)空槍之間形成的5個空中選出2個的排列,即.
例13. 馬路上有編號為l,2,3,……,10 十個路燈,為節(jié)約用電又看清路面,可以把其中的三只燈關(guān)掉,但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只,在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下,求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種?
分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰,也不能在兩端.又因為燈與燈之間沒有區(qū)別,因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈.
∴ 共=20種方法.
4．間接計數(shù)法.(1)排除法
例14. 三行三列共九個點,以這些點為頂點可組成多少個三角形?
分析：有些問題正面求解有一定困難,可以采用間接法.
所求問題的方法數(shù)=任意三個點的組合數(shù)-共線三點的方法數(shù),
∴ 共種.
例15．正方體8個頂點中取出4個,可組成多少個四面體?
分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點的組合數(shù)-共面四點的方法數(shù),
∴ 共-12=70-12=58個.
例16. l,2,3,……,9中取出兩個分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù),可組成多少個不同數(shù)值的對數(shù)?
分析：由于底數(shù)不能為1.
（1）當1選上時,1必為真數(shù),∴ 有一種情況.
（2）當不選1時,從2--9中任取兩個分別作為底數(shù),真數(shù),共,其中l(wèi)og24=log39,log42=log93, log23=log49, log32=log94.
因而一共有53個.
(3)補上一個階段,轉(zhuǎn)化為熟悉的問題
例17. 六人排成一排,要求甲在乙的前面,(不一定相鄰),共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?
分析：（一）實際上,甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對稱,具有相同的排法數(shù).因而有=360種.
（二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位,因而前面的排法數(shù)重復了種, ∴ 共=120種.
例18．5男4女排成一排,要求男生必須按從高到矮的順序,共有多少種不同的方法?
分析：首先不考慮男生的站位要求,共種；男生從左至右按從高到矮的順序,只有一種站法,因而上述站法重復了次.因而有=9×8×7×6=3024種.
若男生從右至左按從高到矮的順序,只有一種站法, 同理也有3024種,綜上,有6048種.
例19. 三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行,共有多少種不同的方法?
分析：先認為三個紅球互不相同,共種方法.而由于三個紅球所占位置相同的情況下,共有變化,因而共=20種.
5．擋板的使用
例20．10個名額分配到八個班,每班至少一個名額,問有多少種不同的分配方法?
分析：把10個名額看成十個元素,在這十個元素之間形成的九個空中,選出七個位置放置檔板,則每一種放置方式就相當于一種分配方式.因而共36種.
6．注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合,再做全排列；同樣,組合如補充一個階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問題.
例21. 從0,l,2,……,9中取出2個偶數(shù)數(shù)字,3個奇數(shù)數(shù)字,可組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)?
分析：先選后排.另外還要考慮特殊元素0的選取.
（一）兩個選出的偶數(shù)含0,則有種.
（二）兩個選出的偶數(shù)字不含0,則有種.
例22. 電梯有7位乘客,在10層樓房的每一層停留,如果三位乘客從同一層出去,另外兩位在同一層出去,最后兩人各從不同的樓層出去,有多少種不同的下樓方法?
分析：（一）先把7位乘客分成3人,2人,一人,一人四組,有種.
（二）選擇10層中的四層下樓有種.
∴ 共有種.
例23. 用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù),
(1)可組成多少個不同的四位數(shù)?
(2)可組成多少個不同的四位偶數(shù)?
(3)可組成多少個能被3整除的四位數(shù)?
(4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列,問第85項是什么?
分析：（1）有個.
（2）分為兩類：0在末位,則有種：0不在末位,則有種.
∴ 共+種.
（3）先把四個相加能被3整除的四個數(shù)從小到大列舉出來,即先選
0,1,2,3
0,1,3,5
0,2,3,4
0,3,4,5
1,2,4,5
它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除,再排列,有：4×()+=96種.
（4）首位為1的有=60個.
前兩位為20的有=12個.
前兩位為21的有=12個.
因而第85項是前兩位為23的最小數(shù),即為2301.
7．分組問題
例24. 6本不同的書
(1) 分給甲乙丙三人,每人兩本,有多少種不同的分法?
(2) 分成三堆,每堆兩本,有多少種不同的分法?
(3) 分成三堆,一堆一本,一堆兩本,一堆三本,有多少種不同的分法?
(4) 甲一本,乙兩本,丙三本,有多少種不同的分法?
(5) 分給甲乙丙三人,其中一人一本,一人兩本,第三人三本,有多少種不同的分法?
分析：（1）有中.
（2）即在（1）的基礎(chǔ)上除去順序,有種.
（3）有種.由于這是不平均分組,因而不包含順序.
（4）有種.同（3）,原因是甲,乙,丙持有量確定.
（5）有種.
例25. 6人分乘兩輛不同的車,每車最多乘4人,則不同的乘車方法為_______.
分析：（一）考慮先把6人分成2人和4人,3人和3人各兩組.
第一類：平均分成3人一組,有種方法.
第二類：分成2人,4人各一組,有種方法.
（二）再考慮分別上兩輛不同的車.
綜合（一）（二）,有種.
例26. 5名學生分配到4個不同的科技小組參加活動,每個科技小組至少有一名學生參加,則分配方法共有________種.
分析：（一）先把5個學生分成二人,一人,一人,一人各一組.
其中涉及到平均分成四組,有=種分組方法.
（二）再考慮分配到四個不同的科技小組,有種,
由（一）（二）可知,共=240種.
表示在
n
不同的元素里
取
m
個元素
不限順序
有幾種取法
要取m次
第一次可滲襲基以取的元素有
n
種情況
第二次可以取的元素有
n-1
種情況
...
第m
次可以取的元素有
n-m+1
種情況
根據(jù)乘法原理
得取m次的情況有
n*（n-1）*（n-2）...*（n-m+1）=
n!
/
(n-m)!
因為是無序組合所以要除去重復計算的種類叢謹禪碰
就是
m！種
得到的公式就是cnm
=
n!
/
[(n-m)!
*
m!]
高中排列組合公式是：C(n，m)=A(n，m)/m!=n!/m!(n-m)!與C(n，m)=C(n，n-m)。
例如C(4，2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6，C(5，2)=C(5，3)。
排列組合c計算方法：C是從幾個中選取出來，不排列，只組合。
C(n，m)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/m!
例如c53=5*4*3÷(3*2*1)=10，再如C(4，2)=(4x3)/(2x1)=6。
兩個常用的排列基本計數(shù)原理及應(yīng)用：
1、加法原理和分類計數(shù)法：
每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務(wù)，兩類不同辦法中的具體方法，互不相同羨姿(即分類不重)，完成此任務(wù)的任兄衡絕何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)。
2、乘法原理和分步計數(shù)法：
任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此攔褲任務(wù)，各步計數(shù)相互獨立。只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同。
