目錄余數性質及同余定理 同余的概念和性質 小學奧數同余定理例題 小學數學同余定理的內容 小學同余定理的經典例題
數論
1. 奇偶性問題
奇+奇=偶 奇×奇=奇
奇+偶=奇枝彎 奇×偶=偶
偶+偶=偶 偶×偶=偶
2. 位值原則
形如：abc =100a+10b+c
3. 數的整除特征：
整除數特征
2 末尾是0、2、4、6、8
3 各數位上數字的和是3的倍數
5 末尾是0或5
9 各數位上數字的和是9的倍數
11 奇數位上數字的和與偶數位上數字的和，兩者之差是11的倍數
4和25 末兩位數是4(或25)的倍數
8和125 末三位數是8(或125)的.倍數
7、11、13 末三位數與前幾位數的差是7(或11或13)的倍數
4. 整除性質
① 如果c|a、c|b，那么c|(a b)。
② 如果bc|a，那么b|a，c|a。
③轎搭行 如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。
④ 如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤ a個連續自然數中必恰有一個數能被a整除。
5. 帶余除法
一般地，如果a是整數，b是整數(b≠0),那么一定有另外兩個整數q和r，0≤r
當r=0時，我們稱a能被b整除閉嘩。
當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數，q為a除以b的不完全商(亦簡稱為商)。用帶余數除式又可以表示為a÷b=q……r, 0≤r
6. 唯一分解定理
任何一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即
n= p1 × p2 ×...×pk
7. 約數個數與約數和定理
設自然數n的質因子分解式如n= p1 × p2 ×...×pk 那么：
n的約數個數：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有約數和：(1+P1+P1 +…p1 )(1+P2+P2 +…p2 )…(1+Pk+Pk +…pk )
8. 同余定理
① 同余定義：若兩個整數a，b被自然數m除有相同的余數，那么稱a，b對于模m同余，用式子表示為a≡b(mod m)
②若兩個數a，b除以同一個數c得到的余數相同，則a，b的差一定能被c整除。
③兩數的和除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數和。
④兩數的差除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數差。
⑤兩數的積除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數積。
9.完全平方數性質
①平方差： A -B =(A+B)(A-B)，其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。
②約數：約數個數為奇數個的是完全平方數。
約數個數為3的是質數的平方。
③質因數分解：把數字分解，使他滿足積是平方數。
④平方和。
10.孫子定理(中國剩余定理)
11.輾轉相除法
12.數論解題的常用方法：
枚舉、歸納、反證、構造、配對、估計
3的1次方尾數=3
3的2次嫌凱方尾數=9
3的3次方尾數=7
3的4次方尾數=1
3的次方芹判喚尾數是以3、9、7、1 作為循環的
89÷4=22....1
所以143的89次方的尾數是3
因為143的89次方除以七的余數應該是=13-7=6
就是你任意一個大于7且沖攔不能被7整除的數字 且個位數字小于4的，最后的余數肯定是它的個位數字+10-7
11÷7=1....4
13÷7=1....6
(1)在1500至8000之間能同時被12，18，24，42四個數整除的自然數共有（13 ）個。
先求出12\18\24\42四個數的最小公倍數為504，那么在1500-8000之間能同時被12\18\24\42四個數整除的自然數必然為504的倍數，則可設符合條件的數字為504×N（N為整數），于是有：1500＜504×N＜8000；解此不等式得：2.98＜N＜15.87，所以N可取的值有：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15，共計13個。
（2）有一整數，除300，262，205得到的余數相同，這個整數是（19 ）。
根據同余定理，這個數一定是38，57，95這3個數的公約數此孝
（3）某數用3除余2，用7除余4，用11除余1，滿足這些條件的最小自然數是（221 ）。
中國剩余定理（或者叫孫子點兵）問題
1）找到能被3,7整除，且除以11余1的最小數，為：
3×7×10=210
2）找到能被3,11整除，且除以7余4的最小數，為：
3×11×5=165
3）找到能被7,11整除，且除以3余2的最小數，為：
7×11=77
4）把找到的三個最小數求和，為：
210+165+77=452
5）求出3,7,11的最小公倍數，為：
3×7×11=231
6）把求出的和與最小公倍數比較，如果和大于最小公倍數，就減去最小公倍數
可以重復進行，直到結果小于最小公倍數
452-231=221＜231
221就是滿足要求的最扒扒盯小數，所以=221
（4）某數去除74、109和165，所得的余數相同，139與5612的積除以這個數余（2 ）。
根據同余定理，這個數一定是35，56，91的公約數，所以這個數是7，139除以7余6，5612除以7余5，所以 139與5612的積除以這個數7余5x6=30. 除以7余2
（5）有一個數除以3余2，除以4余1，這個數除以12余（5 ）。
這個太簡單了，你自己看吧
（6）乙數除甲數商3余8，若甲數擴大5倍，商正好是19，甲數是（38 ），乙數是（10 ）。
甲數是x,乙數是y
x=3y+8
5x=19y
解方程組得：
x=38
y=10
甲數是38,乙數是10
（7）一個三位數被37除余17，被36除余3，這個三位數是（831 ）。
37×a+17=36×b+3
37a+14=36b
嘗試且a為偶數
所已a=22時，b=23
所以這三位數為831
（8）十個自然數之和等于1001，這十個自然數的最大公約數可能取的最大值是（91 ）。
1001＝7×11×13＝91×11
這十個自然數的最大公約數的最大值是91.
（9）把 l，2，3，4，5，6，7，8，9九個數依不同的次序排列，可以得到362880個不同的九位數，所有這些九位數的最大公約數是（9 ）。
1＋2＋…＋9＝45，根據被9整除特征判斷，因而9是這些數的公約數。
（10）已知三個連續自然數的最小公倍數是360，這三個數是（8，9，10 ）。
設3個連續自然數為 n-1n, n+1
因為3個連續自然數的最小公倍數為360
當第一個數n-1為奇數時
(n-1)*n*(n+1)=360
n^3-n=360
n沒整數解
當n-1為偶數時
因為n-1和n+1都是偶數最小公春和倍數約去了個2
所以最小公倍數為360×2=720
所以(n-1)*n*(n+1)=360*2
n^3-n=720
n=9
所以連續3個自然數為 8,9,10.
（11）三個互不相同的自然數之和為370，它們的最小公倍數最小能夠是（222 ）。
設3個數從小到大分別為AX,BX,CX,其中X是他們的最大公因數。
有AX+BX+CX=370
(A+B+C)*X=370
因A 又根據370的因數得知： (A+B+C)*X=370=10*37=37*10=370*1 AX,BX,CX的最小公倍數=(A、B、C)的最小公倍數*X 當A+B+C=10，X=37時， (A、B、C)的最小公倍數的最小值6，當A=1,B=3,C=6 AX,BX,CX的最小公倍數的最小值=6*37 = 222 當A+B+C=37，X=10時， (A、B、C)的最小公倍數的最小值24，當A=1,B=12,C=24 AX,BX,CX的最小公倍數的最小值=24*10 =240 當A+B+C=370，X=1時， (A、B、C)的最小公倍數的最小值246，當A=1,B=123,C=246 AX,BX,CX的最小公倍數的最小值246*1 =246 綜上所述，當A=1,B=3,C=6，即三個自然數分別等于37、11、222時， 有最小的公倍數222。 （12）一個數減去1能被2整除，減去2能被5整除，減去3能被7整除，加上4能被9整除，這個數最小是（437 ）。 由一個數減去1能被2整除,可知此數為奇數 由減去2能被5整除可知，此數個位是7 減去3能被7整除,即加上4能被7整除 又加上4能被9整除 所以此數是7，9的倍數減4 即63n-4 63n-4的個位是7 所以這個數最小是63x7-4=437 （13）已知數A有12個約數，數B有10個約數，且A、B兩數只含有質因數3和5，A、B的最大公約數是75，A是（675 ），B是（1875 ）。 根據約數個數定理，A=33x52 B=3乘以5的4次方 （14）有四個不同的自然數，它們的和是1991。如果要求這四個數的最大公約數盡可能的大，這四個數中最大的那個數是（905 ）。 將1991進行分解,1991=11*181 1、先得出這四個數的最大公約數是181。為什么呢？假如還有更大的公約數k，那么必有 1991=ak+bk+ck+dk=(a+b+c+d)k(k>181，a,b,c,d為正整數且都不等),由于1991=11*181，k>181，可以得到a+b+c+d<11,但在小于11的正整數中，除了1以外，沒有數能整除1991。所以這四個數的最大公約數是181。 2、求出這四個不同的自然數中最大的為905。怎么求？把11分解成4個不相等的正整數的和，要使其中一個達到最大，則其它三個要盡可能的小。必須這樣分： 11=1+2+3+5則 1995=181+2*181+3*181+5*181 其中最大數就是5*181=905 （15）已知兩個合數的最大公約數與最小公倍數的和是143，這兩個合數是（33和44 ）或是（26和65 ）。 設這兩個數的最大公約數為p。則這兩個數分別是np和mp，由于這兩個數都是合數，所以n與m互質且均大于1。他們的最小公倍數為nmp，最大公約數與最小公倍數的和p+nmp=p(1+nm)=143。由于143=11X13，所以最大公約數為11、13或1。 如果最大公約數為11，那么最小公倍數為143-11=132，nm=12=3X4 這兩個數分別是3X11=33和4X11=44 如果最大公約數為13，那么最小公倍數為143-13=130，nm=10=2X5 這兩個數分別是2X13=26和5X13=65 如果最大公約數為1，那么最小公倍數是143-1=142=2X71 這兩個數分別是2和71。但由于他們均非合數，不符合題意，所以舍去。 數論中的重要概念。給定一個正整數m，如果兩個整數a和b滿足a-b能被m整除，即m|(a-b)，那么就稱整數a與b對模m同余，記作a≡b(mod m)。對模m同余是整數的一個等價關系。 1 反身性 a≡a (mod m) 2 對稱性 若a≡b(mod m)，則b≡a (mod m) 3 傳遞性 若a≡b (mod m)，b≡c (mod m)，則a≡c (mod m) 4 同余式相加 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，則a+-c≡b+-d (mod m) 5 同余式相乘 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，則ac≡bd (mod m) 【滾桐叢證明】上述性質很容易證明,下面僅證明(3). ∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c), ∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c). 故a≡c(mod m). 4 線性運算如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那么(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)，(2)a * c ≡ b * d (mod m) 【證明】(1)∵a≡b(mod m),∴m|(a-b) 同理 m|(c-d) ∴m|[(a-b)±(c-d)] ∴m|[(a±c)-(b±d)] ∴a ± c ≡ b ± d (mod m) (2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d) 又 m|(a-b) , m|(c-d) ∴m|(ac-bd) ∴a * c ≡ b * d (mod m) 5 除法若ac ≡ bc (mod m) c1=0 則 a≡ b (mod m/(c,m)) 其中(c,m)表示c,m的最大公約數 特殊地 (c,m)=1 則a ≡ b (mod m) 6 乘方如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m) 7 若a ≡ b (mod m)，n|m,則 a ≡ b (mod n) 8 若a ≡ b (mod mi）輪絕 i=1,2...n 則 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍數 9 歐拉定理 設a,m∈N,(a,m)=1,則a^(φ(m))≡1(mod m) (注:φ(m)指模m的簡系個數， φ(m)=m-1, 如果m是素數；φ(m=q1^r1 * q2^r2 * ...*qi^ri)=m (1-1/q1)(1-1/q2)...(1-1/qi)) 推論: 費馬小定理: 若p為質數，則a^p ≡ a (mod p) 即a^(p-1) ≡ 1 (mod p) （但是當p|a時不等價） 10 中國剩余定理 設整數m1,m2,m3,......,mn 兩兩互素，令m=m1m2m3m4m5...mn（mi的連乘）。則對于任意的J在（1,n)整數，下列聯立的同余式有解大櫻： 小學奧數沒告一般是：工程問題，分數握察態問題，簡單幾何圖形的面積，周長，體積計算，差倍問題，行程問題，生活中的計算題，簡單的邏輯推理題……建議買一本《小學奧段源數全解》，這本書很全面的解答了小學所有重點問題小學數學同余定理的內容
小學同余定理的經典例題
