目錄簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)單擺周期公式推導(dǎo) 高中彈簧振子周期公式推導(dǎo) 單擺的一個(gè)周期是從哪到哪 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式如何推導(dǎo)? 單擺周期近似公式推導(dǎo)
單擺的周期公式是 T=2π√(L/g)
證明：
擺球的擺動(dòng)軌跡是一個(gè)圓弧，設(shè)擺角(擺球偏離豎直方向的角度)為θ，則擺球的重力mg沿此圓弧的切線方向的分力為mgsinθ，設(shè)擺球偏離平衡位置的位移為x、擺長(zhǎng)為l，則當(dāng)擺角很小時(shí),可以認(rèn)為sinθ=x/l.。所以，單擺的回復(fù)力為F=-mgx/l。
對(duì)于而言,m、g、l均為定值，故可認(rèn)為k=mg/l，則F=-kx。
因此在單擺很小的情況下，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
將k=mg/l代入ω=√(k/m)可得ω=√(g/l)，由T=2π/ω可得單擺周期公式
T=2π√(l/g)
彈簧振子
F=-kx
a=d2x/dt2
=-(k/m)x=-ω2x ω=√(k/m)
d2x/dt2+ω2x=0
解微分方程
得：x=Acos(ωt+φ)
ω=2π/T
T=2π/ω=2π√(m/k)
單擺：
F切=ma=-mgsinθ a=ld2θ/dt2
ma=mld2θ/dt2=-mgsinθ
d2θ/dt2+(g/l)sinθ=0
θ<5° sinθ≈θ
d2θ/dt2+(g/l)θ=0 令ω2=g/l
d2θ/dt2+ω2θ=0
解微分方程：θ=θ0cos(wt+φ)
得：T=2π/ω=2π√(l/g)
擴(kuò)展資料：
單擺是一種理想的物理模型，它由理想化的擺球和擺線組成。擺線由質(zhì)量不計(jì)、不可伸縮的細(xì)線提供；擺球密度較大，坦段首而且球的半徑比擺線的長(zhǎng)度小得多，這樣才可以將擺球看做質(zhì)點(diǎn)讓數(shù)，由擺線和擺球構(gòu)成單擺。
從公式中可看出，單擺周期與振幅和擺球質(zhì)量無(wú)燃汪關(guān)。從受力角度分析，單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回復(fù)力越大，加速度（gsinθ ）越大，在相等時(shí)間內(nèi)走過的弧長(zhǎng)也越大，所以周期與振幅、質(zhì)量無(wú)關(guān)，只與擺長(zhǎng)l和重力加速度g有關(guān)。
在有些振動(dòng)中l(wèi)不一定是繩長(zhǎng)，g也不一定為9.8，因此出現(xiàn)了等效擺長(zhǎng)和等效重力加速度的問題。
參考資料：
-單擺
求單擺周期有兩個(gè)辦法：實(shí)驗(yàn)法：讓單擺做50個(gè)周期（從釋放點(diǎn)A開始源逗計(jì)時(shí)，當(dāng)回到A時(shí)記為一個(gè)周期）的擺動(dòng)，記型爛下50次擺卜裂漏動(dòng)的時(shí)間t，那么周期就是t/50需要注意的是單擺擺動(dòng)的時(shí)候其懸線和豎直方向的夾角不能太大，一般為5°到10°，否則周期不準(zhǔn)確。
計(jì)算法就是一樓的同志說(shuō)的
單擺周期公式推導(dǎo)是：T=2π√(L/g)。
用一根絕對(duì)撓性且長(zhǎng)度不變、質(zhì)量可忽略不計(jì)的線懸掛一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在重力作用下在鉛垂平面內(nèi)作周期運(yùn)動(dòng)，就成為。單擺單擺在擺角小于5°（現(xiàn)在一般認(rèn)為是小于10°）的條件下振動(dòng)時(shí)，可近似認(rèn)為是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。單擺運(yùn)動(dòng)姿搏的周期公式：T=2π√(L/g).其中L指擺長(zhǎng)，g是當(dāng)?shù)刂亓铀俣群陜?cè)枯。
說(shuō)明：
質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的一種，是最簡(jiǎn)單的擺。繞一個(gè)懸點(diǎn)來(lái)回?cái)[動(dòng)的物體，都稱為擺，但其周期一般和物體的形狀、大小及密度的分布有關(guān)。但若把尺寸很小的質(zhì)塊懸于一端固定的長(zhǎng)度為l且不能伸長(zhǎng)的細(xì)繩上。
把質(zhì)塊拉離平衡位置，使細(xì)繩和過懸點(diǎn)鉛垂線所 成角度小于10°，放手后質(zhì)塊往復(fù)振動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，其周期T只和長(zhǎng)度l和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俦味炊萭有關(guān)，即T和質(zhì)塊的質(zhì)量 、形狀和振幅的大小都無(wú)關(guān)系，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用簡(jiǎn)諧振動(dòng)公式表示，稱為單擺。
設(shè)夾角a 線長(zhǎng)l 拉力T 角速度w
T-mgCOSa=w^2*l (1)
mgSINa=-mdv/dt (2)
v=da/dt*l(3)
有2 3 式得
gSINa/l=-d^2a/dt^2
a很小舉盯或時(shí)sin(a)=a
g*a/l+d^2a/dt^2=0 這是最簡(jiǎn)單的常微正伍分方程式
特征根是 A=(g/l) i w^2=g/l 所以解a=a0cos(wt+b)
周期T=2π/則敗w=2π*(l/g)^1/2
采用牛頓第二定律推導(dǎo)：
如下圖，擺長(zhǎng)為l,重物受力為：重力mg和繩子的張力T。取如圖所示的二維坐標(biāo)系，張力T可以分解為垂直和水平方向的二個(gè)力。L與垂線的夾角為θ。
F=ma，可以列出重物在x和y二個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)方程：
這二個(gè)微分方程相當(dāng)難解，所以只能采用一種“小角度近似”的方法進(jìn)行處理，
解的物理意義很明確，A是最大振幅冊(cè)埋，ω是角速度，φ是初相角（視初始條件而定）。
擴(kuò)展資料：
科學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模诖搜a(bǔ)充在任意角度下單擺的周期公式。在此之前先提出兩個(gè)概念（這里用Mathematica的定義）：
第一類不完全橢圓積分：
第一類完全橢圓積分：
下面用微分方程進(jìn)行討論，設(shè)擺長(zhǎng)為l,擺線與豎直方向的夾角為θ，那么單擺的運(yùn)動(dòng)公式為：
令，于是有
上式改寫成：
這是一個(gè)可分離變量的微分方程！分離變量：
其通解為：
給定初始條件（0≤α≤π），，則其特解為：
所以考慮t（t是四分之一周期）正悔：
設(shè)，則
又考慮到
便可以化簡(jiǎn)得到
按照前舉姿正面的定義，便有
此處的α就是常說(shuō)的擺角。
參考資料：-單擺
